직사각형이라는 도형을 최초로 발명한 사람은 누구이며, 그것이 수학의 발전에 어떤 방식으로 기여했을까?
직사각형의 탄생
직사각형도 다른 도형들과 마찬가지로 오랜 역사를 가지고 있다. 인류가 언제부터 직사각형과 측량이 필요한 무언가를 사용하기 시작했는지는 아무도 정확히 알지 못한다. 삼각형, 원과 함께 직사각형의 성질도 고대부터 기술되어 왔다.
하지만 직사각형은 매우 독특한 도형이며, 인류 역사상 직사각형이 삼각형보다 더 중요했다고 말해도 독자들이 용서해 주기를 바란다. 왜 그런지 짐작이 가는가? 직사각형은 인류가 농부가 된 바로 그 순간 태어났다. 밭은 오늘날에도 여전히 직사각형이며, 앞으로도 수천 년 동안 그럴 것이다.
사냥꾼에서 농부로
잠시 울퉁불퉁한 도형이나 수직선은 잊어버리자. 인류는 동굴 대신 집을 짓기 시작하기도 전부터 이미 직사각형을 사용하고 있었다. 어제까지만 해도 매머드를 쫓아다니고 창을 던지는 데 지친 사냥꾼이었다고 상상해 보자. 좋다, 이제 "그만하겠다"고 말한다.
바로 그 순간부터 당신은 어떻게 식량을 만들고 저장할지 고민하기 시작한다. 하지만 그러기 전에 먼저 씨를 뿌리고 수확해야 한다. 그렇다! 밭이 필요하다. 그리고 당신은 혼자가 아니라 이웃 부족과 함께 살고 있으므로, 측량하기 쉽고 나누기 쉬우며 갈등을 피할 수 있는 밭을 만들어야 한다. 직사각형이야말로 그에 완벽한 도형이다. 이렇게 최초의 직사각형이 탄생했다.
직사각형의 수학
직사각형의 넓이를 계산하는 것은 매우 간단하다. 한 변의 길이에 다른 변의 길이를 곱하기만 하면 된다. 직사각형 넓이 계산의 현존하는 가장 오래된 사례는 바빌로니아의 점토판과 이집트의 린드 수학 파피루스에서 발견되며, 둘 다 대략 기원전 2000~1700년경으로 거슬러 올라간다. 그야말로 매우 오래된 공식인 셈이다.
이제 당신에게는 밭이 생겼고, 아마도 밭에서 최대한 가까운 곳에 집도 있을 것이다. 혹은 집과 밭으로 이루어진 마을을 갖게 되었을 수도 있다.
넓이라는 개념은 어떻게 발명되었나
고르지 않은 걸음과 밭의 문제
만약 초기 농부들이 자신의 발이나 걸음으로 땅을 측량했다면, 사람마다 다른 결과를 얻었을 것이다. 어떤 이웃은 밭을 가로질러 서른 걸음이라고 세는 반면, 다른 이웃은 마흔 걸음이라고 셀 수도 있다. 땅이 한정되어 있고 공평하게 나누어야 할 때, 이렇게 제각각인 측정 방식은 혼란과 갈등을 낳는다.
해결책은 단순히 직사각형을 사용하는 것이 아니라, 공통된 길이 단위와 일관되게 측정할 수 있는 단순한 도형에 합의하는 것이었다. 직사각형은 직선 변으로 표시하기 쉽고, 나누기 쉬우며, 다른 필지와 비교하기도 쉽다. 부족이 공통 단위에 합의하고 나면, 밭의 길이와 너비를 측정하여 각자가 얼마만큼의 땅을 가졌는지 계산할 수 있었다.
이렇게 넓이의 수학은 시작되었다 — 순전히 추상적인 이론에서가 아니라, 수확물을 비교하고, 땅을 공평하게 나누고, 누가 더 많은 영토를 가졌는지에 대한 다툼을 막아야 한다는 실용적 필요에서 비롯된 것이다.
직사각형의 넓이와 그 공식은 수 세기에 걸쳐 발전했다
넓이라는 추상적 개념을 발전시키는 데에는 매우 오랜 세월이 걸렸다.
점토판 위에서 밭 문제를 풀던 바빌로니아인들, 자신들만의 공식을 만들어낸 중국의 학자들, 동일한 넓이의 직사각형 위에 사원을 지은 인도의 학자들, 그리고 훗날 이 모든 것을 기하학적으로 증명해 낸 그리스인들. 이들 모두가 직사각형 수학의 발전에 기여했다. 직사각형은 넓이를 측정하고 계산하기에 완벽한 도형이다.
가장 오래된 증거는 약 4,600년 전의 고대 바빌로니아 점토판에서 발견되며, 그곳에서 학생들은 밭의 넓이 문제를 풀고 있었다.
독자적으로, 중국의 수학자들은 《구장산술(九章算術)》을 통해 직사각형을 비롯한 여러 형태의 밭의 넓이를 계산하는 방법을 발전시켰다. 인도에서는 《술바 수트라(Sulba Sutras)》(대략 기원전 800~500년)에 동일한 넓이의 직사각형을 만들고 결합하여 사원을 짓기 위한 기하학적 규칙이 기록되어 있다.
그리스인들은 다른 길을 택했다. 유클리드는 넓이를 단순히 곱셈으로 얻어지는 숫자로 다루는 대신, 직사각형 넓이 사이의 관계를 기하학적으로 증명했다. 그는 주어진 직사각형과 같은 넓이를 가진 정사각형을 기하학적으로 작도하는 방법을 보여주었다.
오늘날 우리는 그의 방법을 한 변의 길이와 다른 변의 길이를 곱하는 것으로 알고 있다. 서로 다른 두 곱셈이 같은 결과를 낸다면, 그 직사각형들은 같은 넓이를 갖는다.
다른 사각형 도형들
밭과 영토만이 직사각형이 쓰이는 유일한 곳은 아니다. 삼각형, 사각형, 그 밖의 여러 도형들이 있지만, 우리의 일상생활에서 가장 많이 쓰이는 도형은 직사각형이다. 현대 수학에는 알려진 모든 도형의 넓이를 계산하고, 그에 따른 성질을 다루는 방법이 풍부하게 마련되어 있다.
우리에게는 다음과 같은 도형들이 있다:
- 사각형
- 마름모
- 사다리꼴
- 그리고 곡면에 대해 정의된 도형들을 포함한 훨씬 더 많은 도형들
놀라운 사실
오늘날에는 누구나 직사각형의 넓이를 계산하는 방법을 안다. 그저 길이에 너비를 곱하면 된다. 하지만 넓이라는 개념과 그것을 계산하는 공식을 발전시키는 데 수백 년이 걸렸다는 사실을 한번 생각해 보라!