순차적 또는 단계별 수학 문제 해결을 위한 체계적이고 논리적인 접근법
순차적 또는 단계별 수학 문제 해결
왜 단계별 접근법이 중요한가
단계별이란 단순히 어떤 일을 정해진 순서에 따라 일련의 단계로 수행하는 것을 의미합니다. 독자는 우리가 수학에 초점을 맞출 것이라 예상하겠지만, 잠시 수학은 제쳐두고 단계별 접근법 자체에 대해 일반적으로 생각해 봅시다. 이와 관련된 용어로 "연속적" 접근법이 있습니다. 이는 문제를 더 작고 다루기 쉬운 단계로 나누어 정해진 순서대로 완료해 나가는 문제 해결 방법입니다.
독자는 이 개념에 대한 여러 유의어를 찾을 수 있을 것입니다. 순차적, 체계적, 방법론적, 논리적 등이 그것입니다. 예를 들어, 가이우스 율리우스 카이사르의 유명한 말 "왔노라, 보았노라, 이겼노라(Veni, vidi, vici)"는 그가 직면한 문제에 대한 단계별 접근을 보여줍니다. 인류는 원시 시대부터 오늘날에 이르기까지 이러한 접근법을 수많은 과제에 적용해 왔습니다. 수학도 그중 하나입니다.
알콰리즈미, 정식 이름으로는 무함마드 이븐 무사 알콰리즈미는 페르시아의 학자이자 수학자였습니다. 그의 이름에서 "알고리즘(algorithm)"이라는 용어가 유래했으며, 이는 현대 컴퓨터 과학의 토대가 되었습니다.
독자도 알다시피, 알고리즘이란 미리 정해진 단계들의 연속입니다. 가이우스 율리우스 카이사르와 알콰리즈미는 서로 다른 시대를 살았지만, 두 사람 모두 단계별 사고를 통해 문제를 해결했습니다. 이들이 이 방법을 처음 사용한 사람들은 아니며, 단지 순차적 문제 해결의 중요성을 보여주는 잘 알려진 역사적 인물일 뿐입니다.
미래 세대는 다른 방식으로 문제를 해결할지도 모르지만, 지금 우리는 대체로 단계를 밟아가며 문제를 해결합니다.
- 우리는 질문을 마주하면 그것을 분석하려 합니다. 분석을 잘할수록 이해도 깊어집니다. 이는 문제 해결 과정에서 중요한 단계입니다. 문제를 이해하면 대개 그것을 풀 수 있습니다. 이해하지 못하면 풀 수 없거나, 잘못된 방향을 선택해 막다른 길에 이를 수도 있습니다.
- 일단 문제를 이해하면, 가능한 해결책을 생각하기 시작할 수 있습니다. 파악한 문제를 풀기 위한 전략을 세울 수 있는 것입니다. 충분히 경험이 있다면, 모든 세부 사항을 완전히 이해하기 전에 전략부터 세울 수도 있습니다. 예를 들어, 숫자를 곱하는 법을 몰라도 일련의 숫자를 더하는 법은 알 수 있습니다. 그러나 숫자를 곱하는 것도 가능하다는 사실은 어느 정도 확신할 수 있고, 그 방법은 나중에 알아낼 수 있습니다. 중요한 것은 문제를 풀기 위한 전략이 있고 그것을 실행할 수 있다는 점입니다. 항상 그런 것은 아니지만, 우리는 앞에 놓인 어려움을 알고 있으며, 목표를 향해 나아가는 길에서 흔들리지 않아야 합니다.
- 전략을 세운 뒤에는 그것을 실행하여 전략을 적용함으로써 문제를 해결할 수 있습니다. 수학에서는 정해진 공식이 있을 수도 있지만, 그래도 답을 도출해야 합니다.
첫 번째와 두 번째 단계를 거치지 않으면 세 번째 단계는 효과가 없습니다. 어떤 경우에는 세 번째 단계 자체가 존재하지 않을 수도 있습니다. 첫 번째와 두 번째 단계가 문제 해결 과정에서 가장 중요한 부분입니다. 세 번째 단계는 앞선 두 단계의 결과일 뿐입니다.
예를 들어, 파이를 굽는 과제가 주어졌다고 합시다. 먼저 그 과제를 이해해야 합니다. 어떤 종류의 케이크를 굽는지, 어떤 재료가 필요한지, 어떻게 구워야 하는지를 알아야 합니다. 이 글의 저자는 전문 제빵사가 아니지만, 그럼에도 제빵이 순차적인 과정이라는 것은 이해하고 있습니다. 당연한 이야기지만, 케이크를 굽는 법을 모르면 케이크를 구울 수 없습니다.
파이는 이 과정의 최종 결과물이지만, 가장 흥미로운 부분은 앞의 두 단계입니다. 그래서 학생들은 문제를 풀 때 풀이 과정을 보여 달라는 요구를 자주 받습니다. 최종 답보다 그 답에 이르는 과정이 더 중요합니다.
실생활에서 단계별 접근법의 활용
단계별 접근법이 필요 없는 예시를 드는 것이 오히려 필요한 예시를 드는 것보다 쉽다고 생각합니다. 이 접근법은 그야말로 어디에나 있기 때문입니다.
- 아침에 잠에서 깨는 순간부터 우리는 이미 하루를 준비하기 위한 알고리즘을 가지고 있습니다. 예를 들어 이 글의 저자는 첫 번째 단계로 알람을 끄고, 두 번째 단계로 양치를 하고, 세 번째 단계로 커피를 찾는 식으로 행동합니다. 대부분의 경우 이 과정의 궁극적인 목표는 집을 나서서 출근하는 것이며, 이 목표는 단계별 접근을 통해 달성됩니다. 제시간에 출근하는 것이 이 과정의 최종 목표입니다.
- 운동 계획도 단계별 접근법의 또 다른 예입니다. 우리는 근육을 키우거나 체중을 줄이는 등 특정 목표를 달성하기 위한 운동 계획을 세울 수 있습니다. 이 계획에는 반드시 순차적이지만은 않은 일련의 단계들이 포함됩니다. 일부 단계는 반복적일 수 있지만, 그럼에도 여전히 전체 알고리즘의 일부입니다. 이러한 계획을 따르려면 규율이 필요합니다. 세워둔 계획을 따르지 않는다면 원하는 결과에 도달하지 못할 것입니다.
지능적이라는 것은 무엇을 의미하는가
우리 뇌가 장기 기억을 발달시켰을 때, 뇌는 과거의 경험을 저장하고 회상하는 능력도 함께 갖추게 되었습니다. 동시에 문제를 더 작고 다루기 쉬운 단계로 나누어 해결하는 능력도 얻었습니다. 이것이 바로 수학이 현실 세계에 적용되는 방식입니다.
수학은 문제 해결에 있어 단계별 접근법을 요구하는 분야입니다. 이는 문제를 이해하고 해결책을 찾는 것을 더 쉽게 만들어 줍니다. 어떤 문제를 어떻게 풀어야 할지 모르더라도, 그것을 더 작은 단계로 나누면 여전히 해결책을 찾을 수 있습니다. 바로 이것이 우리 인간이라는 종을 지적인 존재로 만드는 것입니다.
지능적이라는 것은 무엇을 의미할까요? 그것은 우리가 한 번도 마주한 적 없는 문제라도, 그것을 더 작고 다루기 쉬운 단계로 분해하여 해결책에 도달할 수 있다는 것을 의미합니다.
케임브리지 사전에 따르면, 지능이란 "이성에 근거하여 배우고, 이해하고, 판단하거나 의견을 형성하는 능력"입니다.
그러니 독자 여러분, 그리고 학생 여러분, 문제를 더 작은 단계로 나누어 하나씩 풀어봅시다!
추신: 우리의 튜터 매시는 단계별 문제 해결사입니다. 때로는 지나치게 순차적일 정도입니다. 저희 팀은 매시를 조금 더 놀라움이 있고 예측 불가능한 존재로 만들기 위해 노력하고 있습니다.