허수란 무엇인가? 복소수를 쉽게 설명하기

2026년 8월 7일|읽는 시간: 5 분

허수와 복소수의 정의

임의의 음수를 자기 자신과 곱해보세요. 예를 들어 '-1'에 '-1'을 곱하면 '1'이 나옵니다. 어쩐지 스스로 믿기지 않으신가요? 어떤 계산기를 사용하시든, 아니면 매씨(Mathy)에게 물어보시든, 답은 똑같이 1입니다. 반대 연산인 '1'의 제곱근은 '1'입니다.

참고: 많은 독자분들은 '1'의 제곱근이 '-1'이기도 하다는 것을 알고 계실 겁니다. 이것 또한 절대적인 진실입니다. 하지만 지금은 허수에 대해 이야기하고 있으니 잠시 이 부분은 넘어가도록 하겠습니다.

이제 한번 도전해봅시다. 만약 '-1'의 제곱근을 구하려 한다면, 즉 자기 자신과 곱했을 때 '-1'이 되는 수를 찾으려 한다면 어떨까요? 독자분은 아마 이렇게 말씀하실 겁니다 - "말도 안 돼!" 그리고 이는 사실입니다. 우리의 훈련된 두뇌가 속삭이거나 소리치는 것이 바로 이것입니다. 이 질문은 말이 안 되는 것처럼 보입니다. 답이 없기 때문이죠. 우리는 음수와 음수를 곱하면 항상 양수가 나온다는 것을 알고 있습니다.

하지만 만약 이 엄격해 보이는 규칙을 깨는 개념과 수많은 숫자들이 존재한다고 말한다면 어떨까요? ...놀라지 마세요, 이것은 농담이 아닙니다. 이것이 바로 허수, 혹은 복소수라는 것입니다. 복소수를 복소수와 곱하면 여전히 음수(또는 적어도 양수가 아닌 수, 즉 <=0)가 나올 수 있습니다. 그리고 일반 수학에서 '1'과 같은 가장 기본적인 복소수가 바로 허수 'i'입니다. 이 수를 제곱하면 '-1'이 나옵니다. 다시 말해, i × i = -1입니다. 그리고 '-1'의 제곱근이 바로 허수 'i'입니다.

즉, 수학적으로 말하면 허수란 자기 자신과 곱했을 때 '-1'이라는 결과가 나오는 수입니다.

그리고 복소수는 이 기본 수를 사용하여 연산하는 수들입니다. 보통 복소수는 a + bi의 형태로 표기되며, 여기서 'a'와 'b'는 '1'이나 '5' 같은 일반적인 실수이고, 'i'는 허수입니다.

허수가 왜 필요한지 간단히 설명하기

허수가 왜 필요한지 설명하기에 앞서, 독자분의 이해를 돕기 위한 비유를 하나 들어보겠습니다.

비유의 예시: 음수

여러분이 음수라는 개념을 처음 배웠을 때를 떠올려보세요. 초콜릿 사탕을 음수 개수만큼 가질 수 있을까요? 이 질문은 여러분이 측정하는 어떤 대상에 음수 값을 적용하기 전까지는 말이 안 됩니다. 매튜가 안나에 비해 사탕 -5개를 가지고 있다고 해봅시다. 흠... 이제 좀 더 이치에 맞는 것 같습니다. 다음 순간 안나가 자신은 사탕 5개를 가지고 있다고 말하면, 여러분은 곧바로 매튜가 사탕을 전혀 가지고 있지 않다는 것을 이해하게 됩니다: '5'에서 '5'를 빼면 0이니까요. 와! 이제 우리는 왜 음수가 필요한지 이해하게 되었습니다. 우리에게 음수가 필요한 이유는 현실 세계 때문이 아니라 상대적인 세계 때문입니다. 물론 실제로는 매튜가 물리적으로 음수 개수의 사탕을 가질 수 없다는 것을 우리는 이해하고 있습니다.

이제 이 달콤한 사탕 비유를 허수로 확장해봅시다. 만약 우리에게 음수 개수의 사탕이라는 개념이 없다면 어떨까요? 매튜가 안나에 비해 실제로 몇 개의 사탕을 가지고 있는지 계산하는 것이 조금 골치 아파질 것입니다. 여전히 계산은 가능하지만, 훨씬 더 많은 계산과 설명이 필요할 것입니다. 이 글의 저자가 항공 관제사이고, 한 비행기가 다른 비행기에 대해 상대적으로 어느 위치에 있는지 계산해야 하는 임무를 맡고 있다고 상상해보세요. 여러분은 가족과 함께 디즈니로 가는 비행기를 타고 있고, 관제사의 목표는 여러분의 비행을 안전하게 만드는 것입니다.

관제사에게는 방대한 양의 계산을 해내야 할 시간이 제한되어 있습니다. 이런 경우를 비롯한 많은 상황에서, 그들은 계산을 더 쉽고 빠르게 하기 위해 음수의 제곱근을 다뤄야만 합니다. 최종 결과가 나오면, 그들은 허수를 실수로 변환합니다. 그래서 여러분은 FlightRadar에서 허수를 절대 볼 수 없고, 비행기의 고도가 음수로 표시되는 것도 볼 수 없습니다. 계산은 어떤 기준에 상대적으로 이루어지지만, 최종 결과는 항상 실제 물리적 세계로 변환됩니다.

이렇듯 우리는 더 빠르고 덜 복잡한 계산을 하기 위해 허수가 필요한 것입니다.