오랜 친구 세 명의 역사. 사인, 코사인, 탄젠트

역사

수학 개념 중에는 학생뿐만 아니라 그 부모까지 머리 아프게 만드는 것들이 많다. 사인, 코사인, 탄젠트라는 단어를 들을 때마다 우리는 직각삼각형의 변들과 그 관계를 나타내는 공식을 떠올리려 애쓴다.

이상하게도 이 단어들은 피타고라스라는 이름 없이는 언급되지 않는다. 이 용어들의 의미를 이해하려면 피타고라스 정리와 직각삼각형을 이해해야 한다.

사인, 코사인, 탄젠트를 비롯한 삼각함수의 정의를 살펴보기 전에, 먼저 그 역사를 잠깐 짚어보자. 이 용어들은 서로 연관되어 있고 종종 서로를 통해 정의되지만, 사실은 서로 다른 나라의 서로 다른 수학자들이 제안한 것이다.

• "사인(sine)"이라는 용어는 라틴어 단어 "sinus"에서 왔으며, 이는 "주름" 또는 "만(灣)"을 뜻하는 아랍어 단어 "jayb"의 번역이다. 그런데 아랍어 원단어는 인도에서 유래했다. 인도 수학자들은 "반현(半弦)"을 뜻하는 "jya"라는 함수를 사용하고 있었다. 즉 "jya  > jaib > sinus"라는 단어의 연쇄가 "사인"이라는 용어의 기원이다. "사인"이라는 단어의 뿌리는 인도까지 거슬러 올라간다. 이 단어가 인도에서 왔다는 사실 때문에, 우리는 사인 법칙이 그곳에서 발견되었다고 말할 수 있을 것이다. 적어도 인도 수학자들은 사인의 성질을 발견한 최초의 수학자들 중 하나였다.
• "코사인(cosine)"이라는 용어는 인도나 중동에서 나온 것이 아니다. 이는 영국 수학자 에드먼드 건터(Edmund Gunter)가 제안한 것이다. 1620년, 그는 이 함수를 사인의 여함수(complement)로 이름 붙이기로 했다. 실제로 코사인과 사인은 발음이 비슷하다. 혼동하지 말자. 이 둘은 서로 다른 함수다.
• "탄젠트(tangent)"는 때때로 사인과 코사인의 형제나 자매로 여겨지기도 한다. 어떤 의미에서는 사실이다. 이 용어는 1583년 덴마크 수학자 토마스 핀케(Thomas Fincke)가 도입했으며, 그는 라틴어로 "닿음"을 뜻하는 "tangens"라는 이름을 붙였다.

이렇게 우리는 "만(灣)", 발음이 비슷한 단어, 그리고 "닿음"이라는 세 가지 기원을 갖게 되었다. 이것이 사인, 코사인, 탄젠트라는 용어의 유래다. 오늘날 이 단어들은 대부분의 사람들에게 어휘적 의미를 전달하지 않으며, 그저 수학이라는 언어의 단어로 여겨질 뿐이다.

코사인, 사인, 탄젠트의 정의

독자의 배경에 따라 이 글의 주인공들에 대해 서로 다른 정의를 제공할 수도 있을 것이다. 그러나 가장 고전적인 설명은 보통 직각삼각형의 성질을 통해 이루어진다. 다음과 같이 기호를 정하자.

변 a, b, c와 각 A, B, C를 가진 직각삼각형을 정의하자. 그러면 이 용어들은 각 A 또는 B의 함수로 정의된다. 이들은 결코 각 C에 대해 정의되지 않는다는 점에 유의하라. C는 직각이기 때문이다.

1. A의 사인은 a/c, 즉 대변 a를 빗변 c로 나눈 값으로 정의된다.
2. A의 코사인은 b/c, 즉 인접변 b를 빗변 c로 나눈 값이다.
3. A의 탄젠트는 a/b, 즉 대변 a를 인접변 b로 나눈 값이다.

비슷한 방식으로 이 함수들은 각 B에 대해서도 다시 정의될 수 있다.

원, 극한, 급수 등을 이용하는 다른 정의들도 존재한다. 여기서는 그 부분까지 다루지 않기로 한다. 이는 우리가 게을러서가 아니라, 글이 지나치게 복잡해지지 않도록 하기 위함이다. 만약 독자가 다른 정의들을 보고 싶다면, 언제든 연락하여 별도의 글을 요청해도 좋다. 바로 작성해 드리겠다.

관련된 다른 함수들

독자도 이미 알고 있겠지만, 사인, 코사인, 탄젠트만이 유일한 함수는 아니다. 시컨트, 코시컨트, 코탄젠트, 그리고 다소 잊혀진 엑스시컨트 같은 함수들도 있다. 이 함수들도 실제로 사용되며 무시할 수 없다. 다만 이들을 설명하려면 더 많은 시간이 필요할 것이다.

이 글의 필자는 그저 이 함수들이 앞서 설명한 세 함수를 통해 정의된다고만 언급해 두고자 한다.

흥미로운 사실들

아마 이런 식으로 모든 언어에서 새로운 단어가 생겨나는 것 같다. 독자도 알다시피 수학에도 고유한 언어가 있으며, 코사인, 사인, 탄젠트라는 단어들이 그저 그럴듯하게 들린다는 이유만으로 생겨났다는 사실은 꽤 흥미롭다.

• 앞서 언급했듯이 "사인"이라는 단어는 번역 오류 때문에 존재하게 되었다. 아랍어 단어 "jaib"는 음역된 인도 단어를 잘못 읽은 결과로 나타났다.
• "코사인"이라는 단어는 처음 만들어졌을 당시 아무런 어원도 없었다. 그저 "사인"과 발음이 비슷하게 들렸을 뿐이다.
• "탄젠스(tangens)"는 라틴어로 "닿음"을 뜻한다. 실제로 탄젠트 함수는 흔히 직각삼각형과, 그 삼각형이 접하는 원을 통해 정의된다.

영향과 유산

"사인", "코사인", "탄젠트"는 이제 거의 모든 언어에서 보편적으로 사용된다. 수학, 과학, 공학, 또는 값을 계산하는 능력이 필요한 어떤 분야를 공부하든, 이 단어들은 어느 언어에서나 비슷하게 발음된다. 수학이라는 언어는 별개의 형식 언어임을 기억하자.

우주를 연구하고, 이미지를 처리하고, 양자컴퓨터를 만들고, 전기 회로를 조립하고, 경제 주기를 예측하는 일 — 이 모든 곳에 이 용어들은 언제나 함께할 것이다.